失業保険給付中です。

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９０日の所定給付日数で、３月２３日に４５日目をむかえます（ちなみに５月７日が９０日目です）。
この後、５月末までの２ヶ月間、週２～３日同じ会社で（２０時間以内）アルバイトをしようと思います。
この場合、アルバイトをした日数の基本手当は９０日目以降（５月７日以降）に持ち越されますか？
職安に聞いたところ、雇用保険に入らなければ大丈夫だと言うのですが、
職安の方は人によって違う答えをするので不安です。

ぜひとも回答お願い致します。

90日はあくまでも所定給付日数ですから、90日分支給されますと解釈してください。
基本手当を受けられるのは、離職の日の翌日から1年間（疾病等特殊な事情がなければ）になりますので、この間に90日受給することになります。

>５月末までの２ヶ月間、週２～３日同じ会社で（２０時間以内）アルバイトをしようと思います。この場合、アルバイトをした日数の基本手当は９０日目以降（５月７日以降）に持ち越されますか？
この時間内、日数内でしたら就職と見なされませんので、アルバイトはＯＫです。
ただし、失業認定申告書には正しく記載してください。
基本手当の日数は、上記にも回答しましたが後ろに延びることになりますので、ご安心下さい。